3.4 随机变量的分布函数

概率分布用来描述随机变量（含随机向量）在每一个可能状态的可能性大小。概率分布有不同方式，这取决于随机变量是离散的还是连续的。
对于随机变量X,其概率分布通常记为P(X=x),或X\sim P(x)，表示X服从概率分布P(x)。概率分布描述了取单点值的可能性或概率，但在实际应用中，我们并不关心取某一值的概率，如对离散型随机变量，我们可能关心多个值的概率累加，对连续型随机变量来说，关心在某一段或某一区间的概率等。特别是对连续型随机变量，它在某点的概率都是0。因此，我们通常比较关心随机变量落在某一区间的概率，为此，引入分布函数的概念。
定义：设X是一个随机变量，x_k是任意实数值，函数：
F(x_k)=P(X\leq x_k)\tag{3.7}
称为随机变量X的分布函数。
由（3.7）式不难发现，对任意的实数x_1,x_2(x_1<x_2),有：
P(x_1<X\le x_2)=P(X\le x_2)-P(X\le x_1)=F(x_2)-F(x_1)\tag{3.8}
成立。式（3.8）表明，若随机变量X的分布函数已知，那么可以求出X落在任意一区间[x_1,x_2]的概率。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-\infty,x)上的概率。
分布函数是一个普通函数，为此，我们可以利用数学分析的方法研究随机变量。

3.4.1 分布函数的性质

设F(x)是随机变量X的分布函数，则F(x)有如下性质：
1、非降性
F(x)是一个不减函数，
对任意x_1<x_2,F(x_2)-F(x_1 )=p(x_1<X) 即：F(x_1 )\le F(x_2 )
2、有界性
\begin{aligned}0\le F(x) &\le1 \\F(-\infty)&=0\\F(\infty)&=1 \end{aligned}
3、F(x+0)=F(x),即分布函数是右连续的。

3.4.2 离散型随机变量的分布函数

设离散型随机变量X的分布律为
p(X=x_i )=p_i, i=1,2,\cdots
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x)=p(X\le x)=\sum_{x_i\le x}p(X=x_i)
可简写为：
F(x)=\sum_{x_i\le x}p_i

3.4.3 连续型随机变量的分布函数

1、定义
设X为连续型随机变量，其密度函数为f(x),则有：